Odvození vzniku duhy

Základní objasnění vzniku duh vychází se Snellova zákona lomu. Jak bylo už uvedeno, paprsek vstupující do opticky hustšího prostředí se láme směrem ke kolmici, přičemž platí, že podíl sinu úhlu dopadu a sinu úhlu lomu se rovná relativnímu indexu lomu n; tedy:
kde relativní index lomu n je poměr rychlostí šíření světla v 1. a 2. prostředí. Je-li prvním prostředím vzduch a druhým prostředím voda, pak je index lomu n roven přibližně 1,33.
Viditelné světlo se skládá ze záření o různých vlnových délkách, které oko vnímá jako různé barvy v rozpětí od červené (záření o delších vlnových délkách) po fialovou (kratší vlnové délky). Záření kratších vlnových délek se při vstupu do hustšího prostředí láme více. Proto každá vlnová délka resp. barva má rozdílný index lomu. V následujícím textu budou hodnoty indexu lomu n pro jednotlivé barvy následující:

• n = 1,330 pro červené paprsky
• n = 1,334 pro zelené paprsky
• n = 1,337 pro modré paprsky

Pro vznik hlavní duhy jsou důležité paprsky vstupující do kapky, odrážející se na její zadní stěně a opět lomené vycházející ven. Dráha takového paprsku je znázorněna na následujícím obrázku. Sluneční paprsek přichází zleva ve výšce h nad vodorovnou osou procházející středem kapky o jednotkovém poloměru (h tedy nabývá hodnot od 0 do 1), vstupuje do kapky pod úhlem alfa (sinus alfa = h), láme se pod úhlem beta, na protější straně se odráží a vystupuje z kapky ven, přičemž vystupující paprsek svírá s původně vstupujícím paprskem úhel gama. Pro velikost úhlu gama lze podle obrázku napsat:

g = 360° - 2a - 2(180 - 2b),

po zjednodušení dostaneme:
Budeme-li uvažovat kapku na obrázku jako kružnici o jednotkovém poloměru, potom vzdálenost vstupujícího paprsku h od osy kapky se bude rovnat sinu úhlu alfa, tedy:

sin a = h.

Z toho pro velikost úhlu alfa plyne:

a = arcsin h

a pokud víme, že sinus alfa se rovná h můžeme po dosazení do vzorce    napsat velikost úhlu beta jako:

Nyní lze tedy po dosazení zapsat velikost úhlu gama takto:
To je tzv. duhová funkce, která vyjadřuje velikost úhlu gama v závislosti na vzdálenosti h vstupujícího paprsku od osy kapky (kde h nabývá hodnot od 0 do 1). Jak se bude měnit úhel gama vystupujícího paprsku bylo již možné vidět na animovaném obrázku. Je vidět, že hodnota úhlu gama bude mít své maximum kolem hodnoty 42°, což je právě poloměr hlavní duhy.
Pro dva vnitřní odrazy paprsku uvnitř kapky bychom analogicky mohli sestavit další duhovou funkci:

g₂ = p - 6arcsin (h / n) + 2arcsin(h)

Ta bude mít extrém (resp. minimum - viz graf) kolem úhlu 51°, pod nímž můžeme vidět oblouk slabší, tzv. sekundární duhy.
 
Na následujícím grafu jsou vyneseny obě duhové funkce. Každá z nich je vynesena pro tři vybrané duhové barvy (červená, zelená, modrá), neboť index lomu n je specifický pro každou barvu. Vidíme, že duhová funkce pro hlavní duhu ve spodní části grafu má maximum úhlu gama pro červenou barvu na hodnotě 42,5°, pro zelenou 41,9°, pro modrou 41,5°. Proto má hlavní duha nejvýše červený a nejníže modrý pás. Naopak na grafu funkce vedlejší (sekundární) duhy vidíme, že úhel gama₂ vystupujících paprsků (po dvou vnitřních odrazech) dosahuje extrému pro červenou barvu na hodnotě 50,1° (zelená 51,2°, modrá 51,9°) - proto je pořadí barev v sekundární duze obrácené.
 
Také stojí za pozornost skutečnost, že ostatní paprsky vycházející z kapky po jednom vnitřním odrazu vycházejí pod úhly 42° až 0°. Proto je obloha uvnitř primárního duhového oblouku světlejší (viz galerii). Obdobně ostatní paprsky po dvou vnitřních odrazech vystupují pod úhlem od 51° až po 180° a tedy i obloha vně oblouku sekundární duhy je o něco světlejší. Pak zde zbývá pás mezi dvěma duhovými oblouky, jehož poloměr vidíme v rozsahu 42° až 51°. Tento pás, jenž bývá nazýván Alexandrovým obloukem, je viditelně tmavší.

Vzhledem k tomu, že sluneční kotouč není bodovým zdrojem světla (jeho úhlový průměr na obloze je asi půl stupně), bude šířka duhového pásu větší, než by napovídaly hodnoty z grafu. Šířka duhového pásu hlavní duhy je asi 2°, šířka pásu sekundární duhy asi 4°.
Jistě se vtírá otázka, zda by se část paprsků které se uvnitř kapky vícenásobně odráží nemohla podílet na vzniku ještě dalších duh; duh vyšších řádů. Duhy 3. a údajně i 4. řádu (tj. po 3 resp. 4 vnitřních odrazech) se vzácně pozorují, musí být však velmi nevýrazné. Zatímco dříve popsané duhy 1. a 2. řádu se objevují na opačné straně od Slunce, duhy 3. a 4. řádu by se objevovaly kolem Slunce.

Předchozí vysvětlení vzniku duhy vycházelo pouze z geometrické optiky. Dále by bylo možné uvažovat vliv velikosti a deformace tvaru kapek na podobu duhy, popřípadě interferenci světla pomocí níž lze vysvětlit střídající se světlejší a tmavší proužky občas pozorovatelné na vnitřní straně hlavní nebo vnější straně vedlejší duhy - tzv. podružné duhové oblouky. Paprsky světla se odrazem na kapkách také polarizují. O tom se můžeme přesvědčit například pozorováním duhy skrze fotografický polarizační filtr, jímž pomalu otáčíme - části oblouku tak budou mizet (video)!
 

Z historie zkoumání duhy